Question

3．如图，正方形ABCD中，AB=12，点M在边CD上，且CD=3DM，△ADM沿AM对折至△AMN，延长MN与边BC交于点P，连接AP，CN，则△CNP的面积为14.4．

Answer 1

分析 首先利用翻折变换对应边关系得出AB=AN，∠B=∠ANP=90°，利用HL定理得出△ABP≌△ANP即可；利用勾股定理得出PM²=CP²+CM²，进而求出BP即可；过C作CE⊥PN于E，由勾股定理以及由面积法得，CE=4.8，进而得出答案．

解答 解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AM对折至△AMN，
∴AD=AN，DM=MN，∠D=∠ANM=90°，
∴AB=AN，∠B=∠ANP=90°，
又∵AP=AP，
在Rt△ABP和Rt△ANP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{AB=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ANP，
∴BP=PN，
∵CD=3DM，
∴DM=4，CM=8，
设BP=x，则CP=12-x，PM=x+4，
∵PM²=CP²+CM²
∴（x+4）²=（12-x）²+8²，
解得x=6，
∴BP=6；
过C作CE⊥PN于E，
∵BP=PN=6，
∴CP=6，MC=12-4=8，
∴PM=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵S_△CPM=$\frac{1}{2}$CE•PM=$\frac{1}{2}$PC•MC，
∴CM×10=6×8，
∴CM=4.8，
∴S_△CNP=$\frac{1}{2}$PN•CM=$\frac{1}{2}×6×4.8$=14.4．
故答案为：14.4．

点评 此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．