Question

在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．

（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE＝BM；

（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是         ；（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE＝，

且AF:FD＝1:2时，求线段DG的长．

 

Answer 1

（1）过点M作MK⊥BC交BD于点K，先证△EKM≌△EDN，

∴EK＝ED，∴BD－2DE＝BK， 

而BK＝BM，即BD－2DE＝BM

（2）过点M作MK⊥BC交BD于点K，类似于（1）：BD＋2DE＝BK＝BM

（3）由（2）得，BD＋2DE＝BC＋2＝BM，有BC－BM＝2，即CM＝2

∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND即ND＝2AB，若设正方形边长为x，则有x＋2＝2x，解得x＝2

     又∵＝＝，∴DG＝＝