Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AB为直径作⊙O，P是AB上一点，过点P作AB的垂线交AC的延长线于点Q，D是PQ上一点，DC=DQ．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，BC=QC，求

BP

OP

的值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由角之间的等量关系求得∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，即∠OCD=90°，
（2）设⊙O的半径为r，求出CQ、AQ、PQ，进而算出BP、PO，得到

BP

OP

的值．

解答：（1）证明：连接OC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵CD=DQ，
∴∠DCQ=∠Q，
∴∠OCA+∠DCQ=∠A+∠Q=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则AB=2r，OC=r，AC=0.5AB=r，BC=

3

r；
∴CQ=BC=

3

r，AQ=AC+CQ=（1+

3

）r，
PQ=AQ•c0s60°=0.5（1+

3

）r；
∴BP=AB-AP=0.5（3-

3

）r，PO=AP-OA=0.5（

3

-1）r，
∴BP：PO=

3

．

点评：本题考查了切线的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．