Question

已知：二次函数y=ax²-2x+c的图象与x轴交于A（-1，0）和B两点（如图），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，E为抛物线顶点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线x+1交y轴于D点．
①猜想△BCE的形状，并判断它和△BOD是否相似，请说明理由；
②若点M是直线BD下方的抛物线上一个动点，点M运动到什么位置时，△BDM的面积等于△BOE的面积？直接写出所有满足要求的点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0）且对称轴是直线x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²-2x+c得，
，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）①△BCE∽△BOD，理由如下：
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）
过E作EF⊥y轴于F，则EF=1．
∵抛物线y=x²-2x-3于y轴交于点C（0，-3），
∴OC=OB=3，CF=4-3=1=EF
∴△CFE和△OBC均是等腰直角三角形，
∴△BCE∽△BOD；
②M（0，-3）；
分析：（1）根据点A的坐标和对称轴求的函数图象于x轴的另一个交点坐标，理由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）将求的函数解析式通过配方确定其顶点坐标，过E作EF⊥y轴于F，然后求的抛物线y=x²-2x-3于y轴的交点坐标，从而得到△BCE和△BOD均是等腰直角三角形，从而证明△BCE∽△BOD；
点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中还考查了相似三角形的判定与性质，题目难度较大．