Question

8．已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，求m的整数值．

Answer 1

分析 （1）先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为2和当m≠0时，△=b²-4ac=（m+1）²≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）根据（1）求出x的根，再根据x为整数，m为整数，求出m的值，从而求出x的值，再根据，x₁≠x₂，且x为正整数，即可求出m的值．

解答 解：（1）分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0
∴x=2，方程有实数根；                          
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1 
=（m+1）²≥0，
不论m为何实数，△≥0成立，
∴方程恒有实数根
综合上所述可知m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；

（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．
则有 x₁=$\frac{3m-1-m-1}{2m}$=1-$\frac{1}{m}$，
x₂=$\frac{3m-1+m+1}{2m}$=2                  
∵x为整数，m为整数，
∴m=1，-1，
∴x₁=0，2，
∵x₁≠x₂，且x为正整数，
∴m=1．

点评 此题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根是本题的关键．