Question

9．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF，将纸片ACB的一角沿EF折叠．
（1）如图①，若折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S_{四边形ECBF}=3S_△AEF，则AE=$\frac{5}{2}$；
（2）如图②，若折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．求AE的长；
（3）如图③，若折叠后点A落在BC延长线上的点N处，且使NF⊥AB．求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出EF⊥AB，△AEF≌△DEF，得出S_△AEF≌S_△DEF，由已知得出S_△ABC=4S_△AEF，证明△AEF∽△ABC，得出$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即可求出AE的长；
（2）设AE=x，则CE=4-x．由折叠可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，证明四边形AEMF为菱形．得出EM∥AB．由平行线证明△CME∽△CBA．得出对应边成比例，即可得出AE的长；
（3）设AE=y，则CE=4-y．由折叠可知：AE=EN=y，AF=NF，证明△NBF∽ABC．得出对应边成比例求出BF=$\frac{3}{4}$NF=$\frac{3}{4}$AF．由BF+AF=AB=5得出方程，解方程得出BF=$\frac{15}{7}$，NF=$\frac{20}{7}$，由勾股定理求出BN=$\sqrt{B{F}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{25}{7}$，得出CN=BN-BC=$\frac{4}{7}$．在Rt△CEN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S_△AEF≌S_△DEF，
∵S_{四边形ECBF}=3S_△EDF，
∴S_△ABC=4S_△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即（$\frac{AE}{5}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
故答案为：$\frac{5}{2}$；
（2）设AE=x，则CE=4-x．
由折叠可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE．
∴∠AEF=∠AFE．
∴AE=AF．
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形．
∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{20}{9}$，即AE=$\frac{20}{9}$；
（3）设AE=y，则CE=4-y．
由折叠可知：AE=EN=y，AF=NF，
∵NF⊥AB，
∴∠NFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠NFB=∠ACB．
且∠NBF=∠ABC，
∴△NBF∽ABC．
∴$\frac{BF}{NF}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$．即BF=$\frac{3}{4}$NF=$\frac{3}{4}$AF．由BF+AF=AB=5，
解得：BF=$\frac{15}{7}$，NF=$\frac{20}{7}$，
∴BN=$\sqrt{B{F}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{25}{7}$，
∴CN=BN-BC=$\frac{25}{7}$-3=$\frac{4}{7}$．
在Rt△CEN中，由勾股定理得：CN²+CE²=EN²，
∴（$\frac{4}{7}$）²+（4-y）²=y²，
解得：y=$\frac{100}{49}$，
即AE=$\frac{100}{49}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．