Question

已知方程a（2x+a）=x（1-x）的两个实数根为x₁，x₂，设．
（1）当a=-2时，求S的值；
（2）当a取什么整数时，S的值为1；
（3）是否存在负数a，使S²的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当a=-2时，原方程化为x²-5x+4=0．
解得x₁=4，x₂=1．
∴S=2+1=3．
（2）S=+，s²=x₁+x₂+2．
∴a（2x+a）=x（1-x）．
整理得：x²+（2a-1）x+a²=0．
当x²+（2a-1）x+a²=0时△≥0．
∴（2a-1）²-4a²≥0．
解得a≤0.25．
∵x₁+x₂=1-2a，x₁×x₂=a²．
S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|=1．
当a≥0，1-2a+2a=1，有1=1．
当a＜0时，1-2a-2a=1，有a=0（不合设定，舍去）．
当0≤a≤0.25时，S的值为1．
∵a为整数，
∴a=0时，S的值为1．
（3）S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|≥25．
∴只有当a＜0时，有1-2a-2a≥25．
解得a≤-6．
∴a≤-6时，S²的值不小于25．
分析：（1）把a=-2代入方程，求得方程的两根，进而求得S的值．
（2）S的值为1，则方程一定有两根非负的实数，即△≥0，且两根的和大于0，两根的积大于或等于0，根据一元二次方程根与系数的关系即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，再根据S的值为1，即S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|=1．即可确定a的值；
（3）S²的值不小于25，即S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|≥25．结合（2）中求得的a的范围，即可求得a的取值范围．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，（2）（3）求a的值或a的取值范围，都是依据S²=x₁+x₂+2=1-2a+2|a|转化为方程或不等式问题．