Question

5．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为（0，4），点P是x轴正半轴上一点，AP=2$\sqrt{5}$，点C在第一象限，∠APC=90°，如果△AOP∽△APC，则点C的坐标为（4，1）．

Answer 1

分析 先过点C作CB⊥x轴于B，根据勾股定理求得OP的长，再根据相似三角形的性质，求得PC的长，再判定△AOP∽△PBC，利用相似三角形的对应边成比例，求得BC和PB的长，最后得出点C的坐标即可．

解答 解：如图，过点C作CB⊥x轴于B，则∠PBC=90°，
∵点A的坐标为（0，4），AP=2$\sqrt{5}$，
∴Rt△AOP中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=2，
∵△AOP∽△APC，
∴$\frac{AO}{AP}$=$\frac{OP}{PC}$，即$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{PC}$，
∴PC=$\sqrt{5}$，
∵∠APC=90°=∠AOP，
∴∠OAP+∠APO=90°=∠BPC+∠APO，
∴∠OAP=∠BPC，
又∵∠PBC=90°=∠AOP，
∴△AOP∽△PBC，
∴$\frac{PC}{AP}$=$\frac{BC}{OP}$=$\frac{BP}{OA}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{BC}{2}$=$\frac{BP}{4}$，
∴BC=1，BP=2，
∴OB=2+2=4，
∴点C的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出线段的长度．