Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG=

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（AD+BC）．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）连接DG，若∠ADG=2∠ADE，求证：四边形DEGF是矩形．

Answer 1

分析：（1）如图，连接EF．利用梯形中位线定理证得四边形EGCF是平行四边形；然后根据已知条件推知四边形DEGF的对边EG=DF且EG∥DF，易证四边形DEGF是平行四边形；
（2）连接DG，根据已知条件推知?DEGF中的EO=DO；然后证得?DEGF的对角线EF=DG即可．

解答：（1）证明：如图，连接EF．
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF=

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(AD+BC)，EF∥AD∥BC．
∵CG=

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(AD+BC)，
∴EF=CG．
∴四边形EGCF是平行四边形．
∴EG=FC且EG∥FC．
∵F是CD的中点，
∴FC=DF．
∴EG=DF且EG∥DF．
∴四边形DEGF是平行四边形．

（2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O．
∵∠ADG=2∠ADE，
∴∠ADE=∠EDG．
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEO．
∴∠EDG=∠DEO．
∴EO=DO．
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴EO=

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2

EF，DO=

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2

DG．
∴EF=DG，
∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质以及梯形的中位线定理．注意，在推知四边形DEGF是矩形时，必须先说明四边形DEGF是平行四边形．