Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．
（1）证明：△BEF≌△DFE；
（2）若∠BEC=90°，H是EC与FD的交点，G是EB的中点，探索GH与EF的大小关系，并加以证明．

Answer 1

（本小题满分8分）
（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以，AD平行且等于BC．
又E、F分别是AD、BC的中点，
所以，ED平行且等于BF，
所以，∠DEF=∠BFE，而EF为公共边，
所以△BEF≌△DFE．…

（2）GH=EF
证明：由（1）知：ED∥FC且ED=FC，所以，四边形EFCD是平行四边形，得H是EC的中点；
又G是EB的中点，∴GH=BC
∵∠BEC=90°，F是BC的中点
∴EF=BC∴GH=EF…（方法不唯一，合理即可）
分析：（1）根据题意得AD平行且等于BC．再根据E、F分别是AD、BC的中点，得ED平行且等于BF，可证明△BEF≌△DFE．
（2）GH=EF；由（1）得ED∥FC且ED=FC，即可证明四边形EFCD是平行四边形，则H是EC的中点；可证明GH=BC，EF=BC，从而得出GH=EF．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形的中位线定理．