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    1．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，AD为等腰三角形AOC底边OC上的高，直线OA的解析式为y=x，抛物线y=a（x-4）2+k的顶点为A，且经过坐标原点．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）有一动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度运动，连接PD，设△APD的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的解析式，并直接写出自变量t的取值范围；
    （3）在（2）的情况下，过点D作PD的垂线交射线AC于点E，过点E作OC的垂线交抛物线于点F，问当t为何值时，CE的长为$\sqrt{2}$，并求出此时点F的坐标．

    分析 （1）由抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为x=4，根据点A在y=x上可求得点A的坐标为（4，4），将（4，4），（0，0）代入抛物线的解析式可求得a和k的值，从而得到抛物线的解析式；
    （2）当点P在线段OA上时，如图1所示，过点P作PM⊥AD于点M．在等腰三角形APM中，利用特殊锐角三角函数值可求得PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4$\sqrt{2}$-2t），然后利用三角形的面积公式即可求得S与t的关系式，如图2所示，先求得PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2t-4$\sqrt{2}$），然后利用三角形的面积公式即可求得S与t的关系式；
    （3）在图3中先证明△PAD≌△ECD，AP=EC=$\sqrt{2}$，由PA=AO-OP可得：4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}t$=$\sqrt{2}$，解得t=3，设EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，于是CN=1，故此ON=7，将x=7代入抛物线的解析式可求得点F的坐标；如图4所示：先证明△PAD≌△ECD，得到AP=EC=$\sqrt{2}$于是有$\sqrt{2}t$-4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，解得t=5，EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，CN=1，故此ON=9，将x=9代入抛物线的解析式可求得点F的坐标．

    解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-4）2+k的顶点为A，
    ∴A的横坐标为4．
    又∵直线OA的解析式为y=x，
    ∴当x=4时，y=4．
    ∴点A的坐标为（4，4）．
    将（4，4），（0，0）代入y=a（x-4）2+k得；a=-$\frac{1}{4}$，k=4．
    ∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+2x$．
    （2）当点P在线段OA上时，如图1所示，过点P作PM⊥AD于点M．

    ∵AD为等腰三角形AOC底边OC上的高，
    ∴∠PAD=45°
    ∴PM=APsin∠PAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4$\sqrt{2}$-2t）．
    ∴${S}_{△APD}=\frac{1}{2}AD•PM$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}×（4\sqrt{2}-\sqrt{2}t）$=8-2t（0≤t＜4）．
    当点P在线段OA的延长线上时，如图2所示，过点P作PM⊥AD于点M．

    ∵∠PAM=45°，
    ∴PM=APsin∠PAM=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}t-4\sqrt{2}）$．
    ∴${S}_{△APD}=\frac{1}{2}AD•PM$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}t-4\sqrt{2}）$=2t-8（t＞4）．
    ∴S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{8-2t（0＜t＜4）}\\{2t-8（t＞4）}\end{array}\right.$．
    （3）如图3所示：

    ∵PD⊥DE
    ∴∠ADP=∠EDC．
    在△PAD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDC}\\{AD=DC}\\{∠PAD=∠ECD=45°}\end{array}\right.$，
    ∴△PAD≌△ECD．
    ∴AP=EC=$\sqrt{2}$．
    ∴4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}t$=$\sqrt{2}$．
    解得：t=3．
    设EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，
    ∴CN=CEcos∠ECN=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1
    ∴ON=7．
    将x=7代入抛物线的解析式得：y=$-\frac{1}{4}×{7}^{2}+2×7=\frac{7}{4}$
    ∴点F的坐标为（7，$\frac{7}{4}$）．
    如图4所示：

    ∵PD⊥DE
    ∴∠ADP=∠EDC．
    在△PAD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDC}\\{AD=DC}\\{∠PAD=∠ECD=135°}\end{array}\right.$，
    ∴△PAD≌△ECD．
    ∴AP=EC=$\sqrt{2}$．
    ∴$\sqrt{2}t$-4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
    解得：t=5．
    设EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，
    ∴CN=CEcos∠ECN=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1
    ∴ON=9．
    将x=9代入抛物线的解析式得：y=$-\frac{1}{4}×{9}^{2}+2×9$=$-\frac{9}{4}$
    ∴点F的坐标为（9，-$\frac{9}{4}$）．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值、三角形的面积公式，证得△PAD≌△ECD是解题的关键．

    练习册系列答案
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    16．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$、$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，其实我们可以将其进一步化简：
    $\frac{5}{\sqrt{3}}$=$\frac{5×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
    $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\sqrt{3}-1$；
    以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
    $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可这样化简$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．
    请选择适当的方法化简：
    （1）$\frac{1}{a\sqrt{b}}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$；（3）$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$；（4）$\frac{1}{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}$．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    17．若点A（3-m，n+2）关于x轴的对称点坐标是（-3，2），则m=6，n=-4．

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    14．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，△AEF与△CEA相似吗？为什么？

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    1．若9x•27x=325，求x的值．

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    6．如图，抛物线C1：y=-（x+m）2+m2（m＞0）的顶点为A，抛物线C2：y=-（x-n）2+n2（n＞m）的顶点为B，抛物线C2的对称轴与抛物线C1相交于点C，抛物线C1的对称轴与抛物线C2相交于点D．
    （1）请你用含有m、n的代数式表示线段AD、BC的长度；
    （2）若抛物线C1是y=-（x+1）2+1，OM=3，求抛物线C2的解析式和$\frac{AM}{BM}$的值；
    （3）若在抛物线C1上存在点N，使得△AND∽△BMC，求m、n所满足的关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．如图，Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，AD交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长线交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG，其中正确的有①②③⑤．

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    10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（-3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且BC=4．

    （1）求∠OBC的度数；
    （2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：
    ①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；
    ②若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系．

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    11．下面是小明同学做过的两道题，请先阅读解题过程，然后回答所提
    出的问题．
    （1）计算：（1）$（{-48}）÷36×（{-\frac{1}{9}}）$；
    解：原式=（-48）÷（-4）…第①步
    =12 …第②步
    问题：上述解法中，第几步有错？①（填序号即可）．
    本题的正确解法是：-48×$\frac{1}{36}$×（-$\frac{1}{9}$）=$\frac{4}{27}$
    （2）-14-（1-0.5）×$\frac{2^2}{3}÷[{-2-{{（{-3}）}^2}}]$．
    解：原式=1-$\frac{1}{2}×\frac{4}{9}÷（{-11}）$…第①步
    =1-$\frac{2}{9}÷（{-11}）$…第②步
    =1-$\frac{2}{99}$…第③步
    =$\frac{97}{99}$…第④步
    问题：上述解法中，第几步有错？①，③（填序号即可）．
    本题的正确解法是：原式=-1-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$÷（-11）=-1-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×（-$\frac{1}{11}$）=-1+$\frac{2}{33}$=-$\frac{31}{33}$．

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