Question

已知，如图，平行四边形ABCD中，∠BDC的平分线DE交直线AB于E，取DE中点M并连接CM、BM．
（1）直接写出线段BM和DE的位置关系．
（2）若BD=2DC，则△DCM的形状是

 

，证明你的结论．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由平行四边形ABCD中，∠BDC的平分线DE交直线AB于E，易证得△BDE是等腰三角形，又由取DE中点M，根据三线合一的性质，可得BM⊥DE；
（2）首先取BD的中点N，连接MN，由三角形中位线的性质与直角三角形的性质，易证得四边形CDNM是菱形，继而可得△DCM是等腰三角形．

解答：解：（1）BM⊥DE．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE=∠E，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴∠BDE=∠E，
∴BD=BE，
∵M是DE中点，
∴BM⊥DE；

（2）△DCM是等腰三角形．
理由：取BD的中点N，连接MN，
∵BM⊥DE，
∴MN=DN=

1

2

BD，
∵BD=2CD，
∴CD=DN=MN，
∵M是DE的中点，
∴MN∥BE，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM是平行四边形，
∴?CDNM是菱形，
∴CD=CM．
∴△DCM是等腰三角形．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．