Question

19．抛物线y=ax²+bx+4交x轴于点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C，点E为BC上的点，过点E的垂线交抛物线于点P，Q，点P在第一象限，若点E为PQ的中点，求点P的坐标．

Answer 1

分析 首先求出直线PQ的解析式，再利用方程组求出点P的坐标．

解答 解：把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+4得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+4=0}\\{9a+3b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4，
∵C（0，4），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∵PQ⊥BC，
∴可以假设直线PQ的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b′，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+b′}\\{y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x+4}\end{array}\right.$，消去y得到16x²-23x+12b′-48=0   ①
∵E是PQ的中点，
∴点E的横坐标为$\frac{23}{32}$，纵坐标为$\frac{73}{24}$，
∴E（$\frac{23}{32}$，$\frac{73}{24}$），把E代入y=$\frac{3}{4}$x+b′可得b′=$\frac{5}{4}$，
把b′=$\frac{5}{4}$代入①解方程可得x=$\frac{23±\sqrt{2641}}{32}$，
∴P（$\frac{23+\sqrt{2641}}{32}$，$\frac{229+3\sqrt{2641}}{248}$）．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点坐标、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组求两个函数的交点坐标．