Question

在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上．
（1）若AE=8，DE=2EF，求GF的长；
（2）若∠ACB=90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG=NF；
（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值．

Answer 1

解：（1）∵△ABC的面积是2，若AB=8，
∴△ABC的高h=6．
设EF=x，则GF=DE=2x，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴=，即=，
解得：x=2.4，
∴GF=4.8；

（2）过G作GP∥BC，过D作DP∥EN，GP、DP交于P点．在DM上截取DQ=DP，连接QG，则△GPD≌△FNE．
∴FN=GP，
∵∠GDQ=∠GDP=45°，
∴△GPD≌△GQD．
∴GQ=GP，∠GQD=∠GPD，
∵∠MGP=∠MDP=90°，
∴∠GMD+∠GPD=180°，
∵∠GQM+∠GQD=180°，
∴∠GMQ=∠GQM，
∴GM=GQ
∴MG=NF；

（3）作CM⊥AB于M，交GF于点N．
设BC=a，BC边上的高是h，DG=y，则CM=h，CN=h-y，ah=48，设GF=x．
∵△CGF∽△CAB，
∴=，即=，则xh=ah-ay，
则y==．
则矩形DEFG的面积s=xy=•x，
即s=-x2+x．
当x=-=时，s有最大值．
最大值是：-（）²+•=-+=-+=12．
故矩形DEFG的面积的最大值是12．
分析：（1）根据三角形的面积公式即可求得△ABC的高，然后依据△CGF∽△CAB，相似三角形的对应边上的高的比等于相似比即可求得；
（2）过G作GP∥BC，过D作DP∥EN，GP、DP交于P点．在DM上截取DQ=DP，连接QG，则△GPD≌△FNE，然后证明△GPD≌△GQD，根据等角对等边证明GM=GQ，从而证得结论；
（3）作CM⊥AB于M，交GF于点N．设BC=a，BC边上的高是h，DG=y，则CM=h，CN=h-y，ah=48，设GF=x，依据相似三角形的性质可以表示出矩形DEFG的面积，然后利用二次函数的性质即可求解．
点评：本题是相似三角形的性质，二次函数的性质以及全等三角形的判定的综合应用，正确理解二次函数的性质是关键．