Question

如图．在△ABC中．∠C=90°，BC=6．D、E分别在AB、AC上．将△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处．若A′为CE的中点．
（1）求证：△ACB∽△AED；
（2）求折痕DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵将△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处，A′为CE的中点，
∴∠DEA=90°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠DEA=∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴△ACB∽△AED；

（2）解：∵A′为CE的中点，
∴A′C=A′E，
∵△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处，
∴AE=A′E，
∴AE=A′E=A′C，
∴=，
∵△ACB∽△AED，
∴==，
∵BC=6，
∴DE=BC=2．
分析：（1）由△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处，易证得∠DEA=∠C=90°，即可得DE∥BC，然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证得：△ACB∽△AED；
（2）由A′为CE的中点，易得AE：AC=1：3，然后由△ACB∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得折痕DE的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．