Question

7．二次函数C₁：y=x²+bx+c的图象过点A（-1，2），B（4，7）．
（1）求二次函数C₁的解析式；
（2）若二次函数C₂与C₁的图象关于x轴对称，试判断二次函数C₂的顶点是否在直线AB上；
（3）若将C₁的图象位于A，B两点间的部分（含A，B两点）记为G，则当二次函数y=-x²+2x+1+m与G有且只有一个交点时，直接写出m满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法可求二次函数C₁的解析式；
（2）先根据对称的性质得到二次函数C₂的解析式，根据顶点坐标公式得到C₂的顶点，根据待定系数法可求过A、B两点的直线解析式，依此代入即可求解；
（3）分别求出点（-1，2），点（4，7）代入二次函数y=-x²+2x+1+m，求得m的值，进一步得到m满足的条件．

解答 解：（1）∵${C_1}：y={x^2}+bx+c$的图象过点A（-1，2），B（4，7），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=1-b+c\\ 7=16+4b+c.\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-1.\end{array}\right.$．
∴y=x²-2x-1．
（2）∵二次函数C₂与C₁的图象关于x轴对称，
∴${C_2}：y=-{x^2}+2x+1$，
∴C₂的顶点为（1，2）．
∵A（-1，2），B（4，7），
设过A、B两点的直线的解析式：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{4k+b=7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴过A、B两点的直线解析式：y=x+3．
令x=1，则y=4．
∴C₂的顶点不在直线AB上．
（3）点（-1，2）代入二次函数y=-x²+2x+1+m，得-1-2+1+m=2，解得m=4；
点（4，7）代入二次函数y=-x²+2x+1+m，得-16+8+1+m=7，解得m=14；
则m满足的条件为4＜m≤14或m=-4．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点问题，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，二次函数y=ax²+bx+c顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）．