Question

如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，求∠ABC的度数．

Answer 1

解：∵C（0，3），
∴CO=3．
∵△ABC的面积为6，
∴=6，
∴AB=4．
∵OA、OB（OA＜0B）的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，
∴OA+OB=4m，
∴4m=4，
∴m=1．
∴一元二次方程为：x²-4x+3=0
∴x₁=1，x₂=3．
∵OA＜0B，
∴OA=1，OB=3．
∴OB=OC，
∴△OBC是扥要直角三角形，
∴∠ABC=45°．
答：∠ABC=45°．
分析：先跟及三角形ABC的面积求出AB的值，再由根与系数的关系就可以求出m的值，从而求出方程的解，就可以得出OB的值，进而得出△OBC为等腰直角三角形就可以得出结论．
点评：本题考查了三角形面积公式的运用，根与系数的关系的运用，一元二次方程的解法的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用，解答时求出m的值是解答一元二次方程的关键．