Question

如图，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作?APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）?APCD是否为矩形？请说明理由．

Answer 1

证明：（1）在△ABC和△AEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴∠ACB=∠APE
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠AEP+∠EAP+∠EPA=180°，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：平行四边形APCD是矩形．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
∴AC=PD，
∴平行四边形APCD是矩形．
分析：（1）利用等腰三角形的性质可知∠ACB=∠CAB，再由三角形内角和定理即可证出∠AEP=∠EAP；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．
点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的综合运用．