Question

8．如图，在Rt△AEG中，∠E=90°，∠EAG的平分数交EG于C，过C作AC的垂线交AG于B，以AB为直径的⊙O交AE于F
（1）求证：EG是的切线；
（2）过C作AG的垂线，垂足为D，求证：EF=BD．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，由AC平分∠EAG得到∠2=∠3，加上∠1=∠2，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AE，所以OC⊥EG，然后根据切线的判定可判断EG是的切线；
（2）连接CF，根据角平分线的性质定理得到CE=CD，再利用圆内接四边形的性质得到∠EFC=∠DBC，则可证明△EFC≌△DCB，所以EF=BD．

解答 证明：（1）连接OC，如图，
∵AC平分∠EAG，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EG，
∴OC⊥EG，
∴EG是的切线；
（2）连接CF，
∵AC平分∠EAG，CE⊥AE，CD⊥AB，
∴CE=CD，
∵∠CBD+∠AFC=180°，∠EFC+∠AFC=180°，
∴∠EFC=∠DBC，
在△EFC和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠DBC}\\{∠E=∠BDC}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DCB，
∴EF=BD．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和三角形全等的判定与性质．