Question

20．方程7x²-（k+13）x+k²-k-2=0（k是常数）有两实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，求k的取值范围．

Answer 1

分析 令y=7x²-（k+13）x+k²-k-2，根据方程的两实数根α、β的范围，即可得出关于k的一元二次不等式组，解不等式组即可得出结论．

解答 解：令y=7x²-（k+13）x+k²-k-2，
∵方程7x²-（k+13）x+k²-k-2=0（k是常数）有两实根α、β，
∴抛物线y=7x²-（k+13）x+k²-k-2与x轴有两个交点，
∵0＜α＜1，1＜β＜2，a=7＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-k-2＞0}\\{7-（k+13）+{k}^{2}-k-2＜0}\\{28-2（k+13）+{k}^{2}-k-2＞0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜k＜-1或3＜4．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，将方程的解转化为抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．