Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，E在AB上、F在BC上，O为AC的中点，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S_△FOE=________．

Answer 1

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形三线合一的性质可得AO=BO，∠A=∠OBF=45°，根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOF，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，OE=OF，然后求出BE=CF，再利用勾股定理求出EF的长度，然后根据等腰直角三角形的性质列式计算即可得解．
解答：在等腰直角△ABC中，∵O为AC的中点，
∴AO=BO，∠A=∠OBF=45°，OB⊥AC，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∵，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE=BF，OE=OF，
∵AB=BC（等腰三角形的两腰相等），
∴AB-AE=BC-BF，
即BE=CF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，EF===5，
∵∠EOF=90°，OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴S_△FOE=×5×=．
故答案为：．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半并且符合等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．