Question

如图，直线y=-

3

x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B，O，直线BC交⊙A于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）以OC为直径作⊙O'，连接AD，直线AD与⊙O'相切吗？为什么？
（3）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得点B，C的坐标，因为OB是直径，所以可求得∠BDO是直角，所以由三角函数可求得∠OBC等于30°，所以可求得OD的长，根据三角函数可求得点D的坐标；
（2）根据题意，有等量代换求得∠ADO′=90°，即可说明AD是⊙O'切线；
（3）首先要验证此点的存在性，再根据三角形的相似性求解即可．

解答：解：（1）由题意知B（0，2），C（

2

3

3

，0），
tan∠OBC=

OC

BO

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠OBC=30°，
∴BD=BOcos30°=

3

．
过D作DE⊥y轴，垂足为E，DE=BD•sin30°=

3

2

，EO=DEtan30°=

1

2

，
∴D（

3

2

，

1

2

)．

（2）相切．
连接O'D．
由题意知O'D=OO'，
∴∠O'OD=∠O'DO，
又∵∠AOD=∠ADO．
∴∠ADO'=∠ADO+∠O'DO=∠AOD+∠O'OD=∠AOO'=90°，
∴AD是⊙O'的切线．

（3）存在．
点P是直线BC与对称轴的交点，
设P'是对称轴上不同于点P的任一点，PO-PD=PC-PD=CD，P'O-P'D=P'C-P'D．
在△P'CD中，显然有P'C-P'D＜CD．
所以，存在点P，使PO与PD之差的值最大．
且点P是直线BC与对称轴的交点．
由CO²=CD•CB，得CD=

OC2

CB

=

( 2 3 3 )2

4 3 3

=

3

3

，
根据抛物线的对称性知对称轴方程为x=

3

3

，
所以点P纵坐标为-

3

×

3

3

+2=1．
∴P（

3

3

，1）．

点评：此题考查了二次函数与园的综合应用，解题时要注意分析二次函数与圆的性质，要注意数形结合思想的应用．