Question

如图①所示，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）如图②所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）
（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点C（0，2），
∴c=2；
又∵tan∠OAC=

OC

OA

=2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵点A在抛物线y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x²-3x+2；

（2）存在．
过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
∴x=-

b

2a

=-

-3

2×1

=

3

2

；
∴AE=OE-OA=

3

2

-1=

1

2

，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴

PE

EA

=

CD

DP

，即

PE

1 2

=

3 2

2-PE

，
解得PE=

1

2

或PE=

3

2

，
∴点P的坐标为（

3

2

，

1

2

）或（

3

2

，

3

2

）．（备注：可以用勾股定理或相似解答）

（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=

1

2

MN?t+

1

2

MN?（2-t），
=

1

2

MN?（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴当t=1时，S_△BCN的最大值为1．
备注：如果没有考虑取值范围，可以不扣分．

点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、解直角三角形、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点；能够将图形面积最大（小）问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．