Question

19．如图，直线y=-2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点C，CB：BA=2：1．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线的解析式求得A、B的坐标，进而根据CB：BA=2：1求得C的纵坐标，将C坐标代入直线y=-2x+1中求出横坐标，代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，确定出反比例解析式；
（2）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=-2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，
∴A（$\frac{1}{2}$，0），B（0，1），
∵CB：BA=2：1，
∴$\frac{AC}{BA}$=$\frac{3}{1}$，
作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{AC}{BA}$，
∴$\frac{CD}{1}$=$\frac{3}{1}$，
∴CD=3，
把y=3代入y=-2x+1，解得x=-1，
∴C（-1，3），
代入y=$\frac{k}{x}$得，3=$\frac{k}{-1}$，
∴k=-3，
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式为y=-$\frac{3}{x}$；
（2）当△CPB∽△AOB时，
则$\frac{BP}{OB}$=$\frac{CP}{OA}$，即$\frac{BP}{1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$，
∴BP=2，
∴OP=OB+BP=1+2=3，
∴P（0，3）；
当△PCB∽△AOB时，
则$\frac{PB}{BA}$=$\frac{BC}{OB}$，
∵OA=$\frac{1}{2}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵CB：BA=2：1，
∴CB=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PB}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
∴PB=$\frac{5}{2}$，
∴OP=PB+0B=$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$，
∴P（0，$\frac{7}{2}$）；
故P的坐标为（0，3）或（0，$\frac{7}{2}$）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形相似的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．