Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点E、F分别是OA、OB的中点，且EC⊥AB，FD⊥AB，EC、FD交⊙O于C、D两点，求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．

Answer 1

分析 连接OC，OD，根据同圆的半径相等得到OA=OC=OD=OB，由于E、F分别是OA、OB的中点，于是得到OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OB，由EC⊥AB，FD⊥AB，得到∠CEO=∠DFO=90°，根据直角三角形的性质得到∠ECO=∠FDO=30°，于是得到∠AOC=∠DOF=60°，即可得到结论．

解答 证明：连接OC，OD，
∵OA=OC=OD=OB，
∵E、F分别是OA、OB的中点，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OB，
∵EC⊥AB，FD⊥AB，
∴∠CEO=∠DFO=90°，
∴∠ECO=∠FDO=30°，
∴∠AOC=∠DOF=60°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了全等三角形的判定与性质．