Question

20．在锐角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，利用等腰三角形的性质得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，于是得到∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，则点D在线段AC上，在Rt△BCD中利用三角函数可计算出BD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，则当BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，如图2，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=7．

解答 解：（1）由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，如图2，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=2+5=7．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．