Question

如图，反比例函数的图象经过A、B两点，点A、B的横坐标分别为2、4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积等于4．
（1）求k的值；
（2）求直线AB的函数值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A的横坐标为2，
∴OC=2，
又∵Rt△AOC的面积等于4，
∴OC•AC=4，可得AC=4，
∴A（2，4），
将A的坐标代入y=中，得k=8，
则k的值为8；

（2）由函数图象可得：当0＜x＜2或x＞4时，直线AB的函数值小于反比例函数的值；

（3）过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D，如图所示：

由B的横坐标为4，将x=4代入反比例解析式得：y=2，
∴B（4，2），
∴OD=4，BD=2，
又∵OC=2，AC=4，
∴CD=OD-OC=4-2=2，
∵S_△BOD=S_△AOC==4，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_梯形ACDB-S_△BOD=S_梯形ACDB===6；

（4）在x轴的正半轴上存在点P，使得△POA为等腰三角形，

分三种情况考虑：
当AO=AP₁时，△P₁OA为等腰三角形，
∵A（2，4），
∴OC=2，
又∵AC⊥x轴，
∴C为OP₁的中点，
∴OP₁=4，
此时P₁的坐标为（4，0）；
当OA=OP₂时，△P₂OA为等腰三角形，
∵A（2，4），
∴OA=2，
此时P₂的坐标为（2，0）；
当AP₃=OP₃时，△P₃OA为等腰三角形，
此时P₃为OA垂直平分线与x轴的交点，
取OA的中点为M，作MN⊥x轴，
∵O（0，0），A（2，4），
∴M（1，2），
∴MN=2，ON=1，
∵∠OMN+∠NMP₃=90°，∠MON+∠OMN=90°，
∴∠NMP₃=∠MON，又∠MNO=∠MNP₃=90°，
∴△MON∽△P₃MN，
∴MN²=ON•NP₃，即4=1•NP₃，
可得NP₃=4，则OP₃=ON+NP₃=1+4=5，
此时P₃的坐标为（5，0）．
综上，满足题意的坐标为P₁（4，0）；P₂（2，0）；P₃（5，0）．
分析：（1）由A的横坐标得出OC的长，再根据直角三角形AOC的面积等于两直角边OC与AC乘积的一半，由已知的面积及OC的长，求出AC的长，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值；
（2）由一次函数与反比例函数的交点A和B的横坐标，根据函数图象可得出直线AB的函数值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）过B作BD垂直于x轴，交x轴于点D，将B的横坐标代入反比例解析式中，求出y的值，即为B的纵坐标，确定出B的坐标，进而确定出OD及BD的长，用OD-OC求出CD的长，根据反比例函数的性质得到三角形AOC的面积与三角形OBD的面积相等，都为，直角梯形ACDB的面积等于（BD+AC）•CD，然后由三角形AOB的面积=三角形AOC的面积+梯形ACDB的面积-三角形OBD的面积，将各自的面积代入即可求出三角形AOB的面积；
（4）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△POA为等腰三角形，分三种情况考虑：当AO=AP₁时，根据等腰三角形的三线合一得到C为OP₁的中点，由OC的长求出OP₁的长，确定出P1的坐标；当OA=OP₂时，根据A的坐标求出OA的长，即为OP₂的长，确定出P₂的坐标；当AP₃=OP₃时，此时P₃为OA垂直平分线与x轴的交点，取OA的中点为M，由O与A的坐标，利用线段中点坐标公式求出M的坐标，确定出MN及ON的长，过M作MN垂直于x轴，根据同角的余角相等可得出三角形AMN与三角形MNP₃一对角相等，再由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出这两个三角形相似，由相似得比例，将各自的值代入求出NP₃的长，由ON+NP₃求出OP₃的长，确定出P₃的坐标，综上得到所有满足题意的P的坐标．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，线段中点坐标公式，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道较难的题，其中第二问注意运用图象法来求解，第三问满足题意的点P坐标有3个，注意不要漏解．