Question

（10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB．

【小题1】（1）试说明：PB是⊙O的切线；
【小题2】（2）已知⊙O的半径为，AB＝2，求PA的长．

Answer 1

【小题1】解：（1）连接OB，OP,交AB于点D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，
∴AC是⊙O的直径．……1分
又∵PA与⊙O相切，∴∠OAP＝90°……2分
∵OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP
∴△OAP≌△OBP……4分
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，即OB⊥BP.
又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线.……5分
【小题2】(2)∵∠ABC＝∠OBP＝90°,∴∠OBC＝∠ABP
又∵OC＝OB，PA＝PB, ∴∠OCB＝∠OBC＝∠ABP＝∠BAP∴△OCP∽△PAB……6分
∴ 即……7分
而在Rt△ABC中, AB＝2,AC＝2∴BC＝2……8分
∴PA＝……9分

解析