Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）试说明△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的判定定理AAS来证明△BED≌△CFD；
（2）四边形AEDF是正方形．易证四边形AEDF是矩形，然后结合（1）中的全等三角形△BED≌△CFD的对应边ED=FD来推知四边形AEDF是正方形．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵D为BC边的中点，
∴BD=CD．
在△BED与△CFD中，
∵

∠DEB=∠DFC=90° ∠B=∠C BD=CD

，
∴△BED≌△CFD（AAS）；

（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：
∵∠DEB=90°，∠A=90°，
∴∠DEB=∠A，
∴AF∥ED．
同理，AE∥FD，
∴四边形AEDF是矩形．
又由（1）知，△BED≌△CFD，
∴ED=FD，
∴矩形AEDF是正方形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定以及等腰直角三角形．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．