Question

如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，给出5个论断：①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE=CE；④∠ABE=30°；⑤CD=BE．
（1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：______；
（2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是______（只需填论断的序号）．

Answer 1

解：（1）∵BE⊥AC，AE=CE，
∴BE是AC的中垂线；
∴BC=AB；
∴△ABC是等腰三角形；
∴∠ABE=∠CBE；
∵∠ABE=30°，
∴∠CBA=60°；
∴△ABC是等边三角形；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴CD=BE；
故成立；

（2）应该选1，3，4；
延长BE到G，使EG=BE，连接CG．
∵BE=EG，CE=AE，
∴△ABE≌△CEG；
∴∠ABE=∠CGE=30°；
∴AB∥CG；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠DCG=90°；
∵∠CGE=30°，
设CD与BE交点为O．
∴OC=OG；
∵∠ABE=30°，
∴OD=OB；
∴OB+OG=BG=2BE；
∵OD+OC=CD，
∴BE=CD．
分析：根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，以及中垂线的性质，等腰三角形和等边三角形的判定和性质求解，从而得到答案．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解决本题的关键．