Question

5．如图，已知∠MON=30°，点A₁，A₂，A₃，…在射线ON上，点B₁，B₂，B₃，…在射线OM上，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…均为等边三角形，若OA₁=2，则△A₅B₅A₆的边长为32．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及A₂B₂=2B₁A₂，得出A₃B₃=4B₁A₂=4，A₄B₄=8B₁A₂=8，A₅B₅=16B₁A₂…进而得出答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA₁=A₁B₁=2，
∴A₂B₁=2，
∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，
∴A₃B₃=4B₁A₂=4，
A₄B₄=8B₁A₂=8，
A₅B₅=16B₁A₂=16，
以此类推：A₆B₆=32B₁A₂=32．
故答案是：32．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A₃B₃=4B₁A₂，A₄B₄=8B₁A₂，A₅B₅=16B₁A₂进而发现规律是解题关键．