Question

16．己知：关于的方程x²-3（m-1）x+3m-4=0．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若二次函数y=x²-3（m-1）x+3m-4（m为实数）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）两点，与y轴交于C，且$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OA}$•$\frac{1}{OB}$（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用△≥0可得结论；
（2）先判断x₁、x₂为方程x²-3（m-1）x+3m-4=0的两根，根据根与系数的关系得x₁+x₂=3（m-1），x₁•x₂=3m-4，再由$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OA}$•$\frac{1}{OB}$，得到|x₁|+|x₂|=2，接着分类讨论x₁和x₂的符号去绝对值得到m的方程，然后解方程求出满足条件的m的值．

解答 （1）证明：△=[-3（m-1）]²-4×1×（3m-4）
=9m²-30m+25
=（3m-5）²
∵（3m-5）²≥0，
∴不论m为何实数，方程总有两个实数根；

（2）（2）根据题意，x₁、x₂为方程x²-3（m-1）x+3m-4=0的两根，
∴x₁+x₂=3（m-1），x₁•x₂=3m-4，
∵$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OA}$•$\frac{1}{OB}$，
∴OA+OB=2，
而OA=|x₁|，OB=|x₂|，
∴|x₁|+|x₂|=2，
当x₁+x₂=3（m-1）＞0，x₁•x₂=3m-4＞0，即m＞$\frac{4}{3}$且m≠$\frac{5}{3}$，则3（m-1）=2，解得m=$\frac{5}{3}$（舍去）；
当x₁+x₂=3（m-1）＜0，x₁•x₂=3m-4＞0，m的值不存在；
当x₁•x₂=3m-4＜0，即m＜$\frac{4}{3}$，则x₁与x₂异号，x₁²+x₂²-2x₁x₂=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴9（m-1）²-4（3m-4）=4，
整理得3m²-10m+7=0，解得m₁=$\frac{7}{3}$（舍去），m₂=1，
∴m的值为1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，也考查了根的判别式和根与系数的关系：关键是把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．