Question

20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE，AF分别是∠ABC，∠DAC的平分线，BE和AD交于G，试说明四边形AGFE的形状．

Answer 1

分析 首先证明∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，再根据角平分线的性质证明∠ABG=∠EBD，然后可证出∠AGE=∠AEG，根据等角对等边可得AG=AE，再证明四边形AGFE是平行四边形，可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论．

解答 解：四边形AGFE是菱形，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．
∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．
∴∠ABG=∠EBD．
∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE，
∵AF是∠DAC的平分线，
∴AO⊥BE，GO=EO，
∵在△ABO和△FBO中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠FBO}\\{BO=OB}\\{∠AOB=∠FOB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，
∴四边形AGFE是平行四边形，
又∵AG=AE，
∴四边形AGFE是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．