Question

已知：在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=60°
（1）如图1，求证：∠BAC=30°；
（2）分别以AB、AC为边，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结DE，交AB于点F如图2．求证：DF=EF．

Answer 1

（1）证明：如图1，取AB中点D，连结CD，则AB=2BD．
∵AB=2BC，
∴BD=BC．
又∵∠ABC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BD，∠BDC=60°，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，
∴∠BAC=30°；

（2）证明：如图2，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF．
分析：（1）如图1，取AB中点D，连结CD，则AB=2BD．易证△BCD为等边三角形，则根据等边三角形的性质推知：CD=BD，∠BDC=60°；所以由等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，即∠BAC=30°；
（2）如图2，作DG∥AE，交AB于点G，由等边三角形的∠EAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°，然后根据两直线平行内错角相等得到∠DGF=90°，再根据∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°，由等边三角形的性质也得到∠DBG=60°，从而得到两角的相等，再由DB=AB，利用“AAS”证得△DGB≌△ACB，根据全等三角形的对应边相等得到DG=AC，再由△AEC为等边三角形得到AE=AC，等量代换可得DG=AE，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等根据“AAS”证得△DGF≌△EAF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．第二问作出辅助线构造全等三角形是本问的突破点．