Question

已知函数y=mx²－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）0或9．

解析试题分析：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．
试题解析：
解：（1）∵当x=0时，y=1．
∴不论m为何值，函数y=mx²-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；
（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx²-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx²-6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（-6）²-4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx²-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．