Question

13．对于二次函数y=x²-2mx-3，有下列结论：
①它的图象与x轴有两个交点；
②如果当x≤-1时，y随x的增大而减小，则m=-1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=1；
④如果当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，则m=5．
其中一定正确的结论是①③④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①利用根的判别式△＞0判定即可；
②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可；
③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m的值；
④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m的值，然后把x=2012代入函数关系式计算即可得解．

解答 解：①∵△=（-2m）²-4×1×（-3）=4m²+12＞0，
∴它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；
②∵当x≤-1时y随x的增大而减小，
∴对称轴直线x=-$\frac{-2m}{2}$≤-1，
解得m≤-1，故本小题错误；
③∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，
∴平移前的图象经过点（3，0），
代入函数关系式得，3²-2m•3-3=0，
解得m=1，故本小题正确；
④∵当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，
∴对称轴为直线x=$\frac{2+8}{2}$=5，
∴-$\frac{-2m}{2×1}$=5，
解得m=5，故本小题正确；
综上所述，结论正确的是①④共2个．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，主要利用了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的对称性以及增减性，熟记各性质是解题的关键．