Question

15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象y₁=kx+b与反比例函数y₂=$\frac{n}{x}$的图象交于点A（1，5）和点B（m，1）．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）当x＞0时，根据图象直接写出不等式$\frac{n}{x}$≥kx+b的解集；
（3）若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入求得m的值；
（2）不等式$\frac{n}{x}$≥kx+b的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的交点以及反比例函数图象在上方时对应的x的范围；
（3）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．

解答 解：（1）∵反比例函数${y_2}=\frac{n}{x}$的图象交于点A（1，5），
∴5=n，即n=5，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{5}{x}$，
∵点B（m，1）在双曲线上．∴1=$\frac{5}{m}$，
∴m=5，
∴B（5，1）；                          

（2）不等式$\frac{n}{x}$≥kx+b的解集为0＜x≤1或x≥5；

（3）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5，
∵抛物线经过B（5，1），
∴1=a（5-1）²+5，解得a=-$\frac{1}{4}$．
∴二次函数的解析式是y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+5．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，根据特点正确设出二次函数的解析式是关键．