Question

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形．
（1）a=31，c=31$\sqrt{2}$；（2）a=9，b=3$\sqrt{3}$；（3）c=8$\sqrt{3}$，∠A=60°；（4）b=7.234，∠A=7°20′（长度精确到0.001）．

Answer 1

分析 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（1）与（2）均由勾股定理先求出另一边，在根据三角函数求角．（3）与（4）由两锐角互余求出第三个角，之后再根据三角函数求其他两边．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=31，c=31$\sqrt{2}$，
则：b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3{1}^{2}×2-3{1}^{2}}$=31
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=b，
∴∠A=∠B=45°
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=3$\sqrt{3}$，
则：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6$\sqrt{3}$
∵tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{9}{3\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$
∴∠A=60°，
∴∠B=90°-60°=30°
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8$\sqrt{3}$，∠A=60°，
则：∠B=90°-60°=30°
∵直角三角形中30°的角所对边是斜边的一半，
∴b=$\frac{1}{2}$c=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=12
（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，b=7.234，∠A=7°20′
则：∠B=90°-7°20′=82°40′
∵tan7°20′=$\frac{a}{b}$=$\frac{a}{7.234}$
∴a≈0.1287×7.234=0.931
又∵cosA=$\frac{b}{c}$
∴c=$\frac{b}{cosA}$≈$\frac{7.234}{cos7°20′}$=7.294

点评 本题考查了解直角三角形的问题，解题的关键是掌握解直角三角形的概念及方法．