Question

如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC.
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果AC=3，求PD的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可.
（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．
试题解析：（1）如图，连接OA，
∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°.
∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°.
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°.
∴∠OAP=90°，即OA⊥AP.
∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．
（2）如图，连接AD，
∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°.
∴AD=AC?tan30°=，CD=2AD=2.
∴DO=AO=CD=.
在Rt△PAO中，由勾股定理得：，
∴.
∵PD的值为正数，
∴PD=.