Question

如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在墙AC上，这时梯足B到墙底C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么可以算得梯足将外移0.8米．请探究：

(1)如果Rt△ABC是等腰直角三角形，如图，那么梯子顶端沿墙垂直下滑的距离与梯足外移的距离能否相等；

(2)有没有可能使梯子顶端沿墙垂直下滑的距离与梯足外移的距离恰好相等？

(3)如果第(2)个问题可能的话，那么是否下滑其他的距离时也能与梯足外移的距离恰好相等？

(4)梯足距墙多少米时，梯子顶端沿墙垂直下滑0.4米，梯足也恰好外移0.4米？

Answer 1

答案：
解析：

(1)不可能相等(提示：设AC＝BC＝a，AA1＝x，BB1＝y，则AB2＝a2＋a2＝2a2，＝(a－x)2＋(a＋y)2．因为AB＝A1B1，所以2a2＝(a－x)2＋(a＋y)2，得x2＋y2＋2a(y－x)＝0，若x＝y，则x2＋y2＋2a(y－x)＝2x2＞0，与x2＋y2＋2a(y－x)＝0矛盾); 　　(2)有可能(提示：当梯子顶端沿墙垂直下滑1.7米时，梯足也恰好外移1.7米); 　　(3)没有，1.7米是唯一的(提示：设AA1＝BB1＝x，则A1C＝2.4－x，B1C＝x＋0.7，在Rt△A1B1C中，2.52＝(2.4－x)2＋(x＋0.7)2，2x2－3.4x＝0，因为x＞0，所以x＝1.7); 　　(4)1.6米(提示：AA1＝BB1＝0.4，设A1C＝x，BC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝(x＋0.4)2＋y2．Rt△A1B1C中，＝(y＋0.4)2＋x2，化简得x＝y，所以Rt△ABC中，2.52＝x2＋(x＋0.4)2．取正，x＝1.6．)