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    数学课上，李老师出示了如下框中的题目．


    小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

    （1）       特殊情况•探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的

    DB大小关系．请你直接写出结论：AE   DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

    （2）特例启发，解答題目

    解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE    DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由

    如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

    （3）拓展结论，设计新题

    在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ ABC

    的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．


    解：（1）答案为：=．

    （2）答案为：=．

    证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

    ∵EF∥BC，

    ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

    ∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，

    ∴AE=AF=EF，

    ∴AB﹣AE=AC﹣AF，

    即BE=CF，

    ∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

    ∵ED=EC，

    ∴∠EDB=∠ECB，

    ∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，

    ∴∠BED=∠FCE，

    在△DBE和△EFC中

    ，

    ∴△DBE≌△EFC（SAS），

    ∴DB=EF，

    ∴AE=BD．

    （3）解：分为四种情况：

    如图：

    ∵AB=AC=1，AE=2，

    ∴B是AE的中点，

    ∵△ABC是等边三角形，

    ∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

    ∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

    ∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

    ∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

    即△DEB是直角三角形．

    ∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

    即CD=1+2=3．

    如图2，

    过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

    ∵等边三角形ABC，EC=ED，

    ∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

    ∴△BAN∽△BEM，

    ∴=，

    ∵△ABC边长是1，AE=2，

    ∴=，

    ∴MN=1，

    ∴CM=MN﹣CN=1﹣=，

    ∴CD=2CM=1；

    如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

    ∴此时不存在EC=ED；

    如图4

    ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

    又∵∠ABC=∠ACB=60°，

    ∴∠ECD＞∠EDC，

    即此时ED≠EC，

    ∴此时情况不存在，

    答：CD的长是3或1．


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