Question

【题目】以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和ADE．

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图①），以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角三角形ABF和ADE，连接EB、FD，线段BE与DF的数量关系是：= ；

（2）当四边形ABCD为矩形时（如图②），以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角三角形ABF和ADE，连接EF、BD，线段EF与BD的数量关系是：= ，请填空并说明理由；

（3）当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰三角形ABF和ADE，且△EAD与△FBA的顶角∠AED=∠AFB=，连接EF、BD，交点为G．请用表示出∠EGD，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）根据△ABF和△ ADE是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

求得△EBF≌△DEF，得到BE=DF;

（2）根据△ABF和△ ADE是等腰直角三角形，四边形ABCD是长方形，

求得△EAF～△DAB，得到;

（3）根据等腰三角形ABF和ADE的顶角∠AED=∠AFB=，∠EAD=∠EDA=∠FAB=∠FBA=，所以△EAD～△FAB，再求得△EAF～△DAB和△PAE～△PGD，最后求得∠EGD=∠EAD=.

（1）1；…………………………………………3’

（2）；…………………………………………4’

证明：∵△ABF和△ADE是等腰直角三角形

∴，∠EAD=45°，∠BAF=45°，…………………………………………5’

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD=900，

∴∠FAD=∠BAD-∠BAF=45°，

∴∠EAF=∠FAD+∠EAD=90°，

∴∠EAF=∠BAD=90°…………………………………………6’

∴△EAF～△DAB…………………………………………7’

∴…………………………………………8’

（3）设EF与AD的交点为P点

∵等腰三角形ABF和ADE的顶角∠AED=∠AFB=

∴∠EAD=∠EDA=∠FAB=∠FBA=

∴△EAD～△FAB…………………………………………9’

∴

∴

∵∠EAD+∠DAF=∠FAB+∠DAF

即：∠EAF=∠DAB

∴△EAF～△DAB…………………………………………10’

∴∠AEF=∠ADB

又∵∠APE=∠GPD

∴△PAE～△PGD…………………………………………11’

∴∠EGD=∠EAD=…………………………………………12’