Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+c经过点C（0，3），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①试猜想PN与PM的数量关系，并说明理由；
②在①的前提下，连结MN，设OM=m．△MPN的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①首先利用待定系数法求一次函数解析式，得出抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为直线x=1，即可得出P点坐标，再利用△PEM∽△PFN求出PN=2PM；
②利用OM=m，则M（0，m），表示出△MPN的面积为S，进而利用二次函数最值求法得出即可．

解答：解：（1）把点C（0，3）代入y=-x²+2x+c得：
c=3，
∴抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）①猜想PN=2PM，
理由如下：
令y=0，则-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）
设直线CB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

b=3 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直线CB的解析式为y=-x+3，
抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴P（1，2），
作PE⊥y轴于点E，如图，
设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，则四边形PEOF是矩形．
∴PE=1，PF=2，
∴∠EPM+∠MPF=90°，
∵∠MPN=90°，∴∠MPF+∠FPN=90°，∴∠EPM=∠FPN
又∵∠PEM=∠PFN=90°，
∴△PEM∽△PFN
∴

PE

PF

=

PM

PN

，
∵P（1，2），∴PE=1，PF=2，
∴

PM

PN

=

1

2

，即PN=2PM．
②∵OM=m，∴M（0，m），∴EM=2-m，PE=1
在Rt△PEM中，由勾股定理得：PM=

12+(2-m)2

=

m2-4m+5

，
S=S△PMN=

1

2

PM•PN=

1

2

PM•2PM=PM2=m2-4m+5
∴S=（m-2）²+1（0≤m≤3），
当0≤m≤2时，S随着m的增大而减小，当m=0时，S有最大值，S_最大值=5．
当2≤m≤3时，S随着m的增大而增大，当m=3时，S有最大值，S_最大值=2，
综上，当0≤m≤3时，即m=0，S_最大值=5．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用分段函数求出S的最值是解题关键．