Question

已知关于x的方程（k-3）x²+kx+1=0：
（1）求证不论k取何值，方程总有实数根；?
（2）当k=4时，设该方程的两个实数根为α、β，求作一个以

α2+1

β2+1

和

β2+1

α2+1

为根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根的判别式即可证明；
（2）利用根与系数的关系把所求代数式化简，然后再利用根与系数的关系解答．

解答：解：（1）∵△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0，
∴不论k取何值，方程总有实数根；

（2）依题意得α+β=-4，αβ=1，
以

α2+1

β2+1

和

β2+1

α2+1

为根的一元二次方程为y²-（

α2+1

β2+1

+

β2+1

α2+1

）y+

α2+1

β2+1

×

β2+1

α2+1

=0-----①，
当k=4时，原方程可化为x²+4x+1=0，
α、β为x²+4x+1=0的根，
所以α²+1=-4α，β²+1=-4β，
代入①得，y²-（

-4α

-4β

+

-4β

-4α

）y+1=0，
化为y²-（

α

β

+

β

α

）y+1=0，
∴y²-[

(α+β)2-2αβ

αβ

]y+1=0，
因为x²+4x+1=0两个实数根为α、β，所以α+β=-4，αβ=1，
代入y²-[

(α+β)2-2αβ

αβ

]y+1=0可化为y²+14y+1=0．

点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程总有实数根即判别式△≥0，已知方程的两根构造一元二次方程是中考中经常出现的题目，需要首先求得两根的和与两根的积，正确对两根的和与两根的积进行变形是解决本题的关键．