Question

1．平面直角坐标系中，半径为2的⊙O交x轴于E、F两点，过点A（4，0）的直线与y轴相交于点C．
（1）如图1，当直线AC与⊙O相切于点B时：
①求AB的长；②求直线AC的函数关系式．
（2）如图2，将直线AC绕点A逆时针转过一定角度，与⊙O交于点B、D，连接EB、OD，当AB=BD时：
①判断OD与EB的位置关系，并说明理由；②求出AD的长．

Answer 1

分析 （1）①先求出OB，利用勾股定理即可求出AB，
②先求出∠OAB=30°，利用锐角三角函数求出OC，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）①先判断出∠EBF=90°，再判断出BF是△AOD的中位线，即可得出BF∥OD即可得出结论；
②先判断出△ABF∽△AED，得出比例式即可求出AB，即可得出结论．

解答 解：（1）①如图1，
连接OB，∵直线AC与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵⊙O半径为2，
∴AB=2$\sqrt{3}$，

②由①知，在Rt△ABO中，OA=4，OB=2，
∴sin∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAB=30°，
在Rt△AOC中，∠OAB=30°，OB=4，
∴OC=OB•tan∠OAB=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
设直线AC的解析式y=kx+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵A（4，0），
∴4k+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=0，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）①OD⊥BE，理由：如图2，
连接BF，∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=90°，OF=2，
∵OA=4，
∴AF=OF=2，
∵点B时AD的中点，
∴BF是△AOD的中位线，
∴BF∥OD，
∴∠BGD=∠EBF=90°，
∴OD⊥BE，

②连接DE，∵四边形BDEF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB=∠ADE，
∵∠BAF=∠EAD，
∴△ABF∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AD}$，
∵AF=2，AE=6，AD=2AB，
∴$\frac{AB}{6}=\frac{2}{2AB}$，
∴AB=$\sqrt{6}$，
∴AD=2AB=2$\sqrt{6}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了圆的切线的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，待定系数法，解（1）的关键是求出∠OAB，解（2）的关键是判断出BF时△OAD的中位线．