Question

如图，直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=

5

4

x与AB交于点C，过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜x＜5时，求S与t之间的函数关系式；
（3）求（2）中S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知函数解析式，求两直线的交点，得点C的坐标即可；
（2）根据几何关系把s用t表示，注意当MN在AD上时，这一特殊情况，进而分类讨论得出；
（3）利用（2）中所求，结合二次函数最值求法求出即可．

解答：解：（1）由题意，得

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

，
解得：

x=3 y= 15 4

，
∴C（3，

15

4

）；

（2）∵直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴y=0时，0=-

3

4

x+6，解得；x=8，
∴A点坐标为；（8，0），
根据题意，得AE=t，OE=8-t．
∴点Q的纵坐标为

5

4

（8-t），点P的纵坐标为-

3

4

（8-t）+6=

3

4

t，
∴PQ=

5

4

（8-t）-

3

4

t=10-2t．
当MN在AD上时，10-2t=t，
∴t=

10

3

．
当0＜t≤

10

3

时，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t．
当

10

3

＜t＜5时，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100；

（3）当0＜t≤

10

3

时，S=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴t=

5

2

时，S最大值=

25

2

．
当

10

3

≤t＜5时，S=4（t-5）²，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t=

10

3

时，S最大值=

100

9

．
∵

25

2

＞

100

9

，
∴S的最大值为

25

2

．

点评：此题主要考查了一次函数综合应用以及二次函数最值问题等知识，利用分类讨论得出分段函数是解题关键．