Question

如图，已知菱形ABCD边长为6

3

，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r₁的圆O₁与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r₂的圆O₂与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．
（1）求菱形的面积；
（2）求证：EF=MN；
（3）求r₁+r₂的值．

Answer 1

分析：（1）由于菱形ABCD边长为6

3

，∠ABC=120°，根据菱形的性质得到ADC和△DBC都是等边三角形，利用等边三角形的面积等于边长平方的

3

4

倍即可得到菱形的面积=2S_△DBC=2×

3

4

×（6

3

）²=54

3

；
（2）由于PM与PE都是⊙O₁的切线，PN与PF都是⊙O₂的切线，根据切线长定理得到PM=PN，PN=PE，则PM-PN=PE-PB，即EF=MN；
（3）由于BE与BG都是⊙O₁的切线，根据切线的性质和切线长定理得到BE=BG，∠O₂BE=∠O₂BG，O₂E⊥BE，而∠EBG=180°-∠DBC=180°-60°=120°，于是有∠O₂BE=60°，∠EO₂B=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到BE=

3

3

O₂E=

3

3

r₂，则BG=

3

3

r₂，DM=DG=6

3

-

3

3

r₂，同理可得CF=

3

3

r₁，DN=DH=6

3

-

3

3

r₁，则MN=DM+DN=12

3

-

3

3

（r₁+r₂），而EF=EB+BC+CF=

3

3

r₂+6

3

+

3

3

r₁=6

3

+

3

3

（r₁+r₂），利用EF=MN可得到关于（r₁+r₂）的方程，解方程即可．

解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为6

3

，∠ABC=120°，
∴△ADC和△DBC都是等边三角形，
∴菱形的面积=2S_△DBC=2×

3

4

×（6

3

）²=54

3

；

（2）证明：∵PM与PE都是⊙O₂的切线，
∴PM=PE，
又∵PN与PF都是⊙O₁的切线，
∴PN=PF，
∴PM-PN=PE-PB，即EF=MN；

（3）解：∵BE与BG都是⊙O₂的切线，
∴BE=BG，∠O₂BE=∠O₂BG，O₂E⊥BE，
而∠EBG=180°-∠DBC=180°-60°=120°，
∴∠O₂BE=60°，∠EO₂B=30°，
∴BE=

3

3

O₂E=

3

3

r₂，
∴BG=

3

3

r₂，
∴DM=DG=6

3

-

3

3

r₂，
同理可得CF=

3

3

r₁，DN=DH=6

3

-

3

3

r₁，
∴MN=DM+DN=12

3

-

3

3

（r₁+r₂），
∵EF=EB+BC+CF=

3

3

r₂+6

3

+

3

3

r₁=6

3

+

3

3

（r₁+r₂），
而EF=MN，
∴6

3

+

3

3

（r₁+r₂）=12

3

-

3

3

（r₁+r₂），
∴r₁+r₂=9．

点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心的连线平分两切线的夹角；掌握菱形的性质，记住等边三角形的面积等于边长平方的

3

4

倍以及含30°的直角三角形三边的关系．