Question

求使2ⁿ-1为7的倍数的所有正整数n．

Answer 1

因为2³=8≡1（mod7），所以对n按模3进行分类讨论．
（1）若n=3k，则
2ⁿ-1=（2³）^k-1=8^k-1≡1^k-1=0（mod7）；
（2）若n=3k+1，则
2ⁿ-1=2•（2³）^k-1=2•8^k-1
≡2•1^k-1=1（mod7）；
（3）若n=3k+2，则
2ⁿ-1=2²•（2³）^k-1=4•8^k-1
≡4•1^k-1=3（mod7）．
所以，当且仅当3|n时，2ⁿ-1为7的倍数．