Question

15．如图所示，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东45°方向，前进6海里到达B处，测得该岛在北偏东30°方向，已知在该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．

Answer 1

分析 判断有无危险只要求出点C到AB的距离，与6海里比较大小就可以．

解答 解：若该船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得：∠CAD=45°，∠CBD=90°-30°=60°，
在Rt△CBD中，∵tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}$，
∴BD=$\frac{CD}{tan∠CBD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD．
在等腰Rt△CBD中，CD=AD．
又∵AD-BD=6，
∴CD-$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=6，
解得CD=9+3$\sqrt{3}$＞6，
即：若船继续向东航行，无触礁危险．

点评 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．