Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．

其中正确的结论是（       ）

A．①②③      B．①③④        C．①④⑤      D．③④⑤

 

Answer 1

【答案】

C.

【解析】

试题分析：连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．因此①正确．

当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．此②错误．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=AC=4．∴DE=DF=；因此③错误．

∵△ADF≌△CEF，∴S_△CEF=S_△ADF∴S_{四边形CEFD}=S_△AFC，因此④正确．

当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S_△CDE=S_{四边形CEFD}﹣S_△DEF=S_△AFC﹣S_△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．故选C．

考点：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定与性质．